Un modèle de régression vectorielle autorégressive (VAR) est une technique utilisée en statistique et en économétrie pour capturer les relations entre plusieurs séries temporelles (données collectées au fil du temps). Contrairement à une régression simple qui pourrait essayer de prédire une variable en fonction d’une ou plusieurs autres variables, un modèle VAR permet à plusieurs variables de se prédire mutuellement.
Concepts de base
- Séries temporelles : Une série temporelle est une suite de données mesurées à différents moments dans le temps. Par exemple, le taux de chômage mensuel d’un pays ou les prix quotidiens des actions en bourse.
- Autorégression : Une série est autorégressive si ses valeurs passées sont utilisées pour prédire ses valeurs futures. Par exemple, le prix d’une action aujourd’hui peut dépendre de son prix hier.
- Modèle VAR : Dans un modèle VAR, chaque variable de la série temporelle est régressée sur ses propres valeurs passées ainsi que sur les valeurs passées de toutes les autres variables dans le modèle.
Exemple concret
maginons que nous souhaitons étudier la relation entre le produit intérieur brut (PIB), le taux de chômage et le taux d’intérêt d’un pays. Nous avons des données mensuelles pour chacune de ces variables sur plusieurs années.
Un modèle VAR pourrait être utilisé comme suit :
- Variables :
- 𝑌𝑡Yt : Le PIB au temps 𝑡t
- 𝑈𝑡Ut : Le taux de chômage au temps 𝑡t
- 𝐼𝑡It : Le taux d’intérêt au temps 𝑡t
- Équations du modèle VAR :
- 𝑌𝑡=𝑎1+𝑏11𝑌𝑡−1+𝑏12𝑈𝑡−1+𝑏13𝐼𝑡−1+𝜖1𝑡Yt=a1+b11Yt−1+b12Ut−1+b13It−1+ϵ1t
- 𝑈𝑡=𝑎2+𝑏21𝑌𝑡−1+𝑏22𝑈𝑡−1+𝑏23𝐼𝑡−1+𝜖2𝑡Ut=a2+b21Yt−1+b22Ut−1+b23It−1+ϵ2t
- 𝐼𝑡=𝑎3+𝑏31𝑌𝑡−1+𝑏32𝑈𝑡−1+𝑏33𝐼𝑡−1+𝜖3𝑡It=a3+b31Yt−1+b32Ut−1+b33It−1+ϵ3t
Où :
- 𝑎1,𝑎2,𝑎3a1,a2,a3 sont des constantes.
- 𝑏𝑖𝑗bij sont les coefficients du modèle qui montrent comment chaque variable influence les autres variables.
- 𝜖1𝑡,𝜖2𝑡,𝜖3𝑡ϵ1t,ϵ2t,ϵ3t sont les termes d’erreur (ou résidus).
Interprétation
- Interaction entre les variables : Le modèle montre comment chaque variable (PIB, chômage, taux d’intérêt) est influencée non seulement par ses propres valeurs passées, mais aussi par les valeurs passées des autres variables. Par exemple, le PIB d’aujourd’hui (𝑌𝑡Yt) peut être influencé par le PIB d’hier (𝑌𝑡−1Yt−1), le taux de chômage d’hier (𝑈𝑡−1Ut−1) et le taux d’intérêt d’hier (𝐼𝑡−1It−1).
- Prédiction : On peut utiliser ce modèle pour faire des prévisions sur l’avenir des trois variables. En entrant les valeurs actuelles et passées dans les équations, on obtient des prédictions pour les périodes futures.
Résumé
Un modèle VAR est un outil puissant pour analyser les relations dynamiques entre plusieurs séries temporelles. Il permet de comprendre comment les variables économiques, financières ou autres interagissent au fil du temps, et de faire des prédictions basées sur ces interactions.