Simulations Monte-Carlo

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Les simulations Monte Carlo sont une méthode statistique utilisée pour comprendre l’impact de l’incertitude et de la variabilité dans les systèmes complexes. Elles consistent à utiliser des échantillons aléatoires pour estimer des résultats.

Exemple Concret : Estimation de la valeur de Pi

Imaginons que nous voulons estimer la valeur de 𝜋 (pi) en utilisant une simulation Monte Carlo.

Étape 1 : Comprendre le problème

Nous savons que la surface d’un cercle est donnée par la formule 𝜋×𝑟2π×r2, où 𝑟r est le rayon. Supposons un cercle de rayon 1 (donc de surface 𝜋π) inscrit dans un carré de côté 2 (donc de surface 4).

Étape 2 : Générer des points aléatoires

Nous allons générer des points aléatoires dans le carré de côté 2. Chaque point aura une coordonnée 𝑥x et 𝑦y comprises entre -1 et 1.

Étape 3 : Compter les points à l’intérieur du cercle

Pour chaque point généré, nous vérifions s’il tombe à l’intérieur du cercle. Un point (𝑥,𝑦)(x,y) est à l’intérieur du cercle si 𝑥2+𝑦2≤1x2+y2≤1.

Étape 4 : Estimer 𝜋

Le rapport du nombre de points à l’intérieur du cercle sur le nombre total de points générés est approximativement égal à la surface du cercle divisée par la surface du carré, soit 𝜋/4π/4. Donc, 𝜋 peut être estimé par :

𝜋≈4×(nombre de points dans le cercle x nombre total de points)π≈4×(nombre total de points x nombre de points dans le cercle​)

Illustration :
  1. Générer des points aléatoires : Imaginons que nous générons 10 000 points avec des coordonnées 𝑥x et 𝑦y comprises entre -1 et 1.
  2. Vérifier les points dans le cercle : Supposons que 7 850 de ces points tombent à l’intérieur du cercle.
  3. Calculer 𝜋π : 𝜋≈4×(785010000)=3.14π≈4×(100007850​)=3.14
Avantages de la simulation Monte Carlo : 
  • Simplicité : Elle est facile à comprendre et à mettre en œuvre pour des problèmes complexes où des solutions analytiques sont difficiles à obtenir.
  • Flexibilité : Elle peut être appliquée à une grande variété de domaines, comme la finance, l’ingénierie, les sciences physiques, etc.
  • Précision : Avec un nombre suffisamment grand de simulations, les résultats peuvent être très précis.

En résumé, une simulation Monte Carlo utilise des méthodes aléatoires pour résoudre des problèmes déterministes complexes, en tirant parti de la loi des grands nombres pour obtenir des estimations précises.

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